Oppgaver Sandvika 12.09.2017
Oppgave I
En tønne har bunn og toppradius på 30 cm, og midtradius på 40 cm. Høyden er 100 cm.
- Hva er volumet til tønnen?
- Hvor høy ville en sylinder med samme grunnflate være for å ha samme volum.
- Hva måtte radien på midten være om tønnen skulle inneholde det doble av en sylinder med samme grunnflate?
Løsningforslag
Vi regner i dm fordi dm^3 er det sammme som liter.- Volum blir: $$V=\frac{G+4M+T}{6}h$$$$=\frac{\pi 3^2 dm^2+4 \cdot \pi 4^2 dm^2+\pi 3^2 dm^2}{6}10 dm \approx 429 \;dm^3 = 429 \;l$$
- Vi får en ligning der h er ukjent: $$\pi 3^2 dm^2 h = 429 dm^3$
$$$$ \Rightarrow h = \frac{429}{\pi 3^2 dm^2 }= 15.2 dm$$ - Her er det midtradien som er ukjent: $$V=\frac{G+4M+G}{6}h = 2 G h$$ $$\Rightarrow \frac{\pi(3^2+4x^2+3^2)}{6}h = 2 \pi 3^2 h$$ Vi kan stryke $\pi$ og h på begge sider: $$\frac{9+4x^2+9)}{6} = 2 3^2$$ $$\Rightarrow x = 4.74$$
Oppgave II
En bøtte har en noe konisk form. Diameteren i bunn er 11 cm, og diameteren øverst er 15 cm. Høyden til bøtten er 25 cm. Hva er volumet til bøtten?Løsningforslag
Vi kan bruke Keplers regel, men da må vi først finne midtradien. Den er middelsummen av bunn og toppradius: $$r = (11+15)cm/2=13 cm$$. Vi kan nå finne volumet:$$V=\frac{G+4M+G}{6}h = V=\frac{1.1^2+4 1.3^2+1.5^2}{6}2.5 dm^3 \approx 13.4 l $$Oppgave III
En luftballong har tverrsnitt på 16 m og en høyde på 20 m
- Hva er volumet av ballongen?
- Vekten av luft ved 150 er 1.226 kg pr m3. Hvor mye veier luften i ballongen.
- Temperaturen inne i ballongen øker til 1000. Da er vekten av luft 0.9464 kg pr m3. Hva blir vekten nå.
- Hvor mye kan ballongen løfte?
Løsningforslag
- En luftballong har en form som gjør at man kan bruke Keplers regel. Volumet blir da: $$\frac{4\cdot M}{6}h=\frac{4\cdot 8^2 m^2}{6}20 m \approx 2861 m^3$$
- Vekten av luften får vi ved å multiplisere vekt med egenvekt: $$M_1 = 2861 m^3 \cdot 1.226 kg/m^3 \approx 3287 kg$$
- Vekt ved $100^0$ $$M_2$ = 2861 m^3 \cdot 0.9464 kg/m^3 \approx 2537 kg$$
- Løftevekten blir differansen mellom de to vektene:$$M=M_1-M_2=3287 kg - 2537 kg = 750 kg$$
Oppgave IV
Vi har gitt en vinkel på 60 grader. Finn en vinkel på 20 grader ved å tredele denne med et fast punkt på en linjal.Løsningforslag
Løsningforslag er lagt ut av Martine. Løsning Martine: https://usn.instructure.com/courses/3951/discussion_topics/7166Se konstruksjon →
Oppgave V
Vi har gitt en linje AB, og et punkt C som ligger omtrent 5 cm fra linjen. Konstruer en parallell til linjen gjennom punktet.Løsningforslag
Det er flere måter å gjøre dette på.En måte er å konstruere en normal fra C ned på linjen AB, og så reise en normal i punktet C. Denne normalen er parallell med AB.
En annen måte er å lage et trapes. Man slår en bue om A gjennom C, og denne skjærer linjen AB i D. Vi slår så med samme passeråpning om C og D. Sirklene vil treffer hverandre i A, og i et annet punkt E. Linjen CE er parallell med AB.
Se konstruksjon →Oppgave VI
Vi har gitt en linje AB, og et punkt C som ligger omtrent 8 cm fra linjen. Konstruer en normal fra punktet til linjen.Løsningforslag
Detter er en repitisjon av en av de grunnleggende konstruksjonene.Oppgave VII
Vi har en sirkel med radius 4 cm, og et punkt 7 cm fra senteret til sirkelen. Finn en tangent til sirkelen fra punktet ved først å finne tangeringspunktet. (Bruk Thales setning)Løsningforslag
Vi tenker at vi har funnet tangeringspunktet. Vi trekker en radie fra punktet til senteret av sirkelen. Vinkelen mellom radien og tangenten må være nitti grader. For å finne tangeringspunktet finner vi først midtpunktet mellom senteret i sirkelen og punktet utenfor. Vi slår så en sirkel om midtpunktet som går gjennom senteret, og der denne treffer sirkelen er tangeringspunktet.
Se konstruksjon →Oppgave VIII
En trekant ABC har grunnlinje AB 10cm. AC er dobbelt så lang som BC, og vinkel BAC er 30 grader.Løsningforslag
- Vi finner fordoblingssirkelen, og konstruerer så vinkel BAC = 90 grader. Der denne skjærer fordoblingssirkelen har vi C.
- Vi ser at det er bare en løsning.
- Det har dannet seg en rettvinklet trekant med vinklene A = 30 grader, B = 60 grader og C = 90 grader. Dette er halvparten av en likesidet trekant, og derfor må AC være dobbel så stor som BC.