AbeLie matematikk

Praktiske Volum og temperatur Fritt fall Populasjonsvekst Volum av eske Gjennomsnittsfart

Matematiske Ulike funksjoner Stigning Den deriverte

Begreper Ulike begreper

Volum og temperatur

Når temperaturen i en gass som er begrenset av en bevegelig beholder øker, da øker volumet samtidig. Når volumet i begynnelsen er 5 liter har vi: $$V(T)=\frac{5(T+273)}{273}$$

1. Hva er volumet når temperatur er 0 grader?
2. Hva blir volumet ved 100 grader?
3. Hva blir volumet ved 100 grader?
4. Tegn en graf av funksjonen fra T = 0 til T = 200.
5. Se av grafen hva volumet blir ved 130 grader.
6. Se av grafen hva temperaturen er når volumet er 8 liter.

x-min	x-max	y-min	y-max

Volum og temperatur

Når temperaturen i en gass som er begrenset av en bevegelig beholder øker, da øker volumet samtidig. Når volumet i begynnelsen er 5 liter har vi: $$V(T)=\frac{5(T+273)}{273}$$

1. Fremstill grafen av funksjonen i geogebra.
2. Hva er volumet når temperatur er 0 grader?
3. Hva blir volumet ved 100 grader?
4. Tegn en graf av funksjonen fra T = 0 til T = 200.
5. Se av grafen hva volumet blir ved 130 grader.
6. Se av grafen hva temperaturen er når volumet er 8 liter.

Gjennomsnittsfart

En bil kjører i en by og etter 30 min er gjennomsnittsfarten 40 km/t. Den kjører så ut på motorveien og holder nå en jevn fart på 100 km/t.

1. Hva er gjennomsnittsfarten etter 10, 20 og 30 min på motorveien.
2. Vis at funksjonen for gjennomsnittsfarten er gitt ved $$g(t)=\frac{20+100 t}{0.5+t}$$
3. Hva slags grense vil funksjonen gå mot når t går mot uendelig
4. Fremstill grafen til funksjonen med grenseverdier.
5. Se av grafen hva som er gjennomsnittsfarten etter 60 min på motorveien.
6. Hvor lang tid vil det ta før gjennomsnittsfarten er 90 km/t

Populasjonsvekst

En populasjon bakterier er på 100 bakterier. De fordobles hver tredje time.

1. Skriv opp funksjonen som beskriver populasjonen ved tiden t.
2. Finn utviklingen de første 10 timene, og tegn en graf av dette.
3. Hvor mange bakterier er det etter 2 timer.
4. Se av grafen når det er blitt tre ganger så mange bakterier som opprinnelig.

Fritt fall

Når en gjenstand faller fritt er fallhøyden i begynnelsen gitt ved $$f(t)=4.9 t^2$$

1. Hvor langt har en gjenstand falt i løpet av 5 sekunder?
2. Bruk geogebra til å tegne en graf av funksjonen fra 0 til 5 sekunder.
3. Se av grafen hvor lang tid det tar å falle 100 m

Utstrømning av vann

Utstrømingstiden av vann er omvendt proporsjonal med kvadratroten av høyden $$v(h)=\frac{k}{ \sqrt{h}}$$

1. Hvor stor er hastigheten når k = 5 og h =
2. Bruk geogebra til å tegne en graf av funksjonen fra 0 til 5 sekunder.
3. Se av grafen hvor lang tid det tar å falle 100 m

Ulike funksjoner

1. Gitt funksjonen $f(x)= 3 x + 5$
   1. Hva slags funksjon er dette?
   2. Fremstill funksjonen inn i geogebra.
   3. Hva er nullverdien til funksjonen?
   4. Hva blir verdien av funksjonen når x = 7?


2. Gitt funksjonen $f(x)=10 x- x^2$
   1. Hva slags funksjon er dette?
   2. Fremstill funksjonen inn i geogebra.
   3. Hva er verdien av funksjone når x er lik 3?
   4. Hva må x være for at funksjonen skal ha verdien 10?


3. Gitt funksjonen $f(x)=x^3-4 x^2-7x+10$
   1. Hva slags funksjon er dette?
   2. Fremstill funksjonen inn i geogebra.
   3. Hva blir nullpunktene til funksjonen?
   4. Hva er verdien av funksjone når x er lik 5?
   5. Hva slags verdier x må ha for at funksjonen skal ha verdien 10?
   6. Hva blir toppunktet og bunnpunktet til funksjonen.
   7. Lag fortegnskjema for funksjonen.


4. Gitt funksjonen $f(x)=\frac{5+x}{x-3}$
   1. Hva slags funksjon er dette?
   2. Fremstill funksjonen inn i geogebra.
   3. Hva blir nullpunktet til funksjonen?
   4. Hva er verdien av funksjonen når x er lik 3?
   5. Hva slags grense går funksjonen mot når $x \rightarrow \infty$?
   6. Hva blir den andre grenseverdien til funksjonen.
   7. Fremstill asymptotene i geogebra.
   8. For hvilke verdier er ikke funksjonen definert?


5. Gitt funksjonen $f(x)=3\cdot 2^x$
   1. Hva slags funksjon er dette?
   2. Fremstill funksjonen inn i geogebra.
   3. Hva blir nullpunktet til funksjonen?
   4. Hva er verdien av funksjonen når x er lik 3?
   5. Hva må x være for at funksjonen skal ha verdien 10?


6. Gitt funksjonen $f(x)=\sqrt{x-1}$
   1. Hva slags funksjon er dette?
   2. Fremstill funksjonen inn i geogebra.
   3. Hva blir nullpunktet til funksjonen?
   4. Hva er definisjonsområdet til funksjonen?
   5. Hva er verdiområdet.

Derivert og stigning

Gitt funksjonen $f(x)=x^2$

1. Fremstill funksjonen i geogebra.
2. Sett av et punkt på grafen, og legg en tangent i punktet.
3. Sett inn stigningen til linjen.
4. Hva er stigningen når x = 1

Derivert og stigning

Gitt funksjonen $f(x)=x^3-5x^2+6 x$

1. Fremstill funksjonen i geogebra (tilpass koordinater).
2. Hva blir nullpunktene til funksjonen?
3. Finn den deriverte til funkjonen, og fremstill denne også.
4. Sett av et punkt på grafen av $f(x)$, tangent i punktet og stigningen til grafen.
5. Finn nullpunktene til den deriverte, og se hvordan dette henger sammen med toppunkt og bunnpunkt.

Volum av eske

Vi har et ark som er 20 ganger 30 cm. Vi bretter opp en kant som er 1 cm høy for å lage en eske. Da minker sidene med 2 cm hver, så de blir 18 og 28 cm. Volumet av esken blir nå $1cm\cdot 18cm \cdot 20cm=504 cm^3$ .

1. Hva blir sidene og volumet når vi bretter opp en kant på 2 cm?
2. Hva blir resultatet når vi bretter opp 3 cm, 4 cm og så videre så langt det går? Lag en tabell der de ulike høydene, sidene og volumene fremkommer.
3. Lag en graf av volumene som funksjon av høyden på kanten.
4. Lag et funksjonsutrykk for volumet og vis at dette blir $$V(x)=4x^3-100x^2+600x$$
5. Fremstill grafen av funksjonen
6. Se av grafen hvilke verdier av høyden som gir akkurat en liter.
7. Deriver funksjonen
8. Hva blir ekstremalverdien?

Ulike begreper

Forklar følgende begreper
• Funksjon
• Verditabell
• Graf
• Uavhengig og avhengig variabel
• Definisjonsmengde og verdimengde
• Modell kontra prinsipiell funksjon
• Nullpunkter og fortegnskjema
• Den deriverte av funksjonen
• Toppunkt og bunnpunkt
• Grenseverdier og asymptoter
• Relle tall og imaginære tall.
• Generelle og spesielle begreper
• Den omvendte funksjon.