AbeLie matematikk


Regler, bevis og aksiomer


Prosessen fra problemstilling til regelbruk, og videre til bevis og aksiomer.

Noe skal gjøres

  • kan gjøres direkte
  • man bruker regler eller prosedyrer
    • reglene tar man som de er
    • eller man vil bevise dem ut fra grunnsetninger, aksiomer med sin egen forstand
      • grunnsetningene tar man som de er
      • eller man vil begrunne dem ut fra sin egen fornuft

Når man følger den historiske utviklingen vil man se at det er en tendens til å begrunne stadig nøyere sin egen virksomhet. Det gjenspeiler seg i forholdet til matematikken. Går man tilbake til den egyptiske tid finner man mange formler for utregninger, og også prosedyrer på hvordan utregninger skal forløpe. Man hadde for eksempel flere formler for $\pi$ som alle er mer eller mindre nøyaktige.

På den tiden ser man imidlertid ikke så mange spor av at reglene begrunnes grundigere. Dette intreffer i den greske tiden. Særlig ved Euklids bøker oppstår en nøyaktigighet som ikke er sett før. Han utgir i alt 13 bøker som i tidene senere ble et av de viktigste innslagene i europeisk kultur. Alle regler og setninger blir her begrunnet ut fra noen enkle forutsetninger, det man kaller aksiomer og psotulater, i tillegg til en nøye definisjon av det man har for seg.

Når man nærmer seg vår tid oppstår det noe annet. Nå begynner man å spørre seg om hvordan det forholder seg med selve grunnsetningene som euklid brukte. Det oppstår på bakrunn av at man prøvde å bevise det såkalte parallellaksiomet. Det viste seg å ikke være mulig, det må forutsettes for at den euklidiske geometrien skal oppstå. Har man ikke med dette aksiomet da kan andre typer geometri oppstå.

En annen grunn til at man vurderte aksiomsystemene var at visse problemer (blandt annet de såkalte klassiske problemer) ikke lot seg løse med euklids midler. Tillater man andre grunnregler eller aksiomer lar de seg imidlertid løse.


Prosedyrer og regler

Man kan si at det egentlig matematiske begynner når man finner metoder og regler for hvordan man skal gå frem i forhold til en problemstilling. Historisk ser man dette komme frem i den egyptiske tid. Her finner man en rad ulike metoder, både for behandling av geomtreiske og aritmetiske problemer. Man utvikler så metoder for å gjøre tingene. Dette var typisk for den egyptiske periode. Man finner formler. Metodene begrunnes i regler og setninger. Vi gjør slik og slik for slik er det. Vi bruker reglene.

Eksempler på regler og metoder

  1. Tømmermannsregel: For å får et hjøne på en tomt til å være 90 grader måler man 60 og 80 cm langs kantene og 100 cm tvers over.
  2. Trapperegel: For å få en behagelig trapp bør 2x opptrinn + 1x inntrinn = 62 cm.
  3. Hvis tverrsummen er delelig med 3 så er hele tallet delelig med 3.
  4. Samme med ni.
  5. Siste tall 5. Delelig på fem.
  6. Kvadratet av halvtall: For å finne kvadratet (tallet i andre) av et halvtall (eks 5.5) tar man produktet av heltallene under og over, og legger til en kvart (0.25).
  7. Areal av trekant: Grunnlinjen multiplisert med høyden delt på 2.
  8. En brøk delt på en annen: Man snur den siste brøken, og multipliserer resulatet med den første brøken.
  9. Væregel: "I dag du om sola ser en stor ring. I morgen du av sola ser ingenting". Aften rød gir morgen blød.
  10. Væregel: "Svalene flyr høyt mot godvær, men lavt når det blir dårlig vær" (Forklaring: Svalene jager insekter og de flyr i den høyden insektene fins. Insekter er vare for fuktigheten i lufta. Faller det nedbør, går de i dekning. Øker fuktigheten i et luftlag, vil insektene søke til et tørrere luftlag, som regel i lavere høyde.)
  11. Kjerringråd:Smør vorten(e) med en fleskebit/svor og legg den så under en stein, når den er i ferd med å råtne bort forsvinner vorta/vortene av seg selv.
  12. Tommelfingerregler: Når lageret har minket 50%, bør man kjøpe nye varer, i høysesong når lageret har minket 25%.
  13. Herons metode: Skal man finne arealet av en trekant legger man sammen de tre sidene, og deler det nye tallet på 2 og får halvsummen. Fra halvsummen trekkes det ene tallet og et nytt tall kommer. Fra de to andre tallene før vi på samme vis to tall til. De tre nye tallene og halvsummen multipliseres, og så trekkes kvadratroten. Da har man arealet av trekanten.

Beviser

Selv om det regelbruken var utstrakt i egypt, og andre områder på den tiden, så var det ikke så sentralt å bevise det at de reglene man brukte virkelig stemte. Man hadde regler for $\pi$, for eksempel $\frac{10}{3}$, $\frac{21}{7}$ og $\sqrt{10}$. Hva som egentlig var det riktige var ikke oppe til diskusjon. Euklid. Typisk for gresk matematikk. Også her å finne formler, men ut fra metoder som hviler på prinsipper. Tredeling av vinkelen for eksempel. Euklid. Hviler på et aksiomsystem. Vitenskapelige bevis. Samfunnsmessige bevis. Argumentering for at et syn er riktig. Begrunnelse av konstruksjoner.

Dannelse av aksiomer



I den egyptiske matematikk var
reglene det sentrale.



I den greske matematikk var
bevisførselen det sentrale.



I vår tids matematikk er begrunnelsen
av aksiomene sentralt.