AbeLie matematikk

Keplers tønneregel

Keplers vintønne

Johannes Kepler førte Archimedes arbeider om volum videre i sitt arbeide om vintønnen. Her kommer han frem til den såklate "Keplers tønneregel". Denne kan utrykkes slik:
Vil man finne volumet av en tønne tar man grunnflaten, legger så til fire ganger midtsnittet, og legger til toppflaten av tønnen, deler dette på 6, og multipliserer resultatet med høyden. $$V=\frac{(G+4 M+T)h}{6}$$

I det relativt ukjente verket "Nova stereometria doliorum vinariorum (Ny stereometri av vintønner)" fra 1615 utvikler Johannes Kepler matematikken et skritt videre i forhold til den greske. Han tar for seg volumberegninger som kan sees på som frø til infinitesimalregningen, og der det han kommer frem til også kan betraktes ut fra en morfologisk synsvinkel. At Kepler var forut for sin tid på dette området sees på det at han måtte bekoste trykkeingen av arbeidet selv, ingen andre så betydningen av verket.

Prosessen som her er foregått er forbilledlig. Kepler oberverer tønner i utenverdene, danner et begrep, bearbeider begrepet i det indre, og kan nå gripe mer av virkeligheten gjennom det utviklede begrep.

Forundringen

Også dette arbeidet har sitt utspring i at Keplers undrer seg over noe han blir oppmerksom på.

Volumet av tønnen fant man
med en målestav.
Han skriver:
Da jeg mot slutten av November innførte en ny hustru i mitt hus, var det nettopp på den tiden at mange lektere med rik og utmerket vin førtes opp Donau. Det var da min plikt som ektemann og god far å forsørge mitt hus med nødvendig drikke. Jeg lot derfor skaffe ganske mange tønner vin som jeg selv innførte i huset.

Fire dager etter kom selgeren med en målestang som han benyttet som eneste verktøy til å måle volumet, uten å ta hensyn til tønnes form, og uten å gjøre noen beregninger. Han stakk nemlig spissen av jernstangen på skrå gjennom påfyllingshullet til den fulle tønnen, til den traff i kanten mellom lokket og tønnesiden. Han leste da av på stangen hvor mye vin som var i tønnen.

Det syntes meg forunderlig at det var mulig å finne volumet til tønne ved å måle halve tverrmålet, og jeg tvilte på påliteligheten til denne måling.
Kepler griper fatt i probemstillingen. Det først han gjør er å begripe tønneformen som en avkappet ellipsoide. Han har jo tidligere begrepet planetbanene som ellipser og kan bruke resultater herfra til det nye arbeidet.


Tønnen har en elliptisk form.

I dag ville vi bruke integralregning for å finne volumet. Det kan settes opp slik:

Et kjeglesnitt gjennom punktene ... er gitt ved:
$$y^2=a x^2+b x +c$$ Vi integerer: $$V=\int_p^q ax^2+ b x+ c \;\;dx$$ $$ V=(q-p) (6 c + 3 b p + 2 a p^2 + 3 b q + 2 a p q + 2 a q^2)/6$$ Her er jo $(q-p)$ høyden i tønnen. Utrykket i parantesen er gitt som $ y(p)^2+4 y((p+q)/2)^2 + y(q)^2$ og dermed har vi formelen.

Den bevegelige ide

Den formelen vi nå har kommet frem til, $$V=\frac{(G+4 M+T)h}{6}$$ kan anvendes til å finne mange typer volum. Det viser seg også at formelen spesialiserer seg til ulike volumutrykk som vi kjenner fra før. Ved å anta bestemte verdier for henholdsvis grunnflate (G), midtareal (M) og toppflate (T) oppstår de andre volumutrykkene.

Sylinder

Når vi har en sylinder for eksempel, vil alle arelaene bli like.

Tønnen kan anta mange former, og for hver form oppstår er spesielt utrykk for tønneformelen.

Vi har da:$$V=\frac{(G+4\cdot G+G)h}{6}=\frac{6 \cdot G \cdot h}{6} = G\cdot h$$ som er det kjente volumet for en sylinder.

Kule

Kulen kan også betraktes som en tønne der både grunnflaten og topplaten er null. Det fører til:$$V=\frac{(0+4\cdot G+0)h}{6} = \frac{2 G \cdot h}{3}$$ Når vi setter inn $h= 2r$ og $F= \pi r^2$ oppnår vi $$V=\frac{4\pi r^3 \cdot 2 r}{6}=\frac{4\pi r^3}{3}$$ som er det kjente utrykk for volumet til en kule.

Kjegle

Volumet til en kjegle kan vi finne ved å se på volumet til en dobbeltkjegle. Her er det midtflaten som blir null og utrykket tar da formen: $$V=\frac{(G+0+G)h}{6} = \frac{2 \cdot G \cdot h}{6}= \frac{G \cdot h}{3}$$ Her er jo høyden til dobbeltkjeglen det dobbelte av en enkeltkjegle, slik at en volumet av en enkel kjegle får samme uttrykk.

Parabol

I en parabol med gitt grunnflate G, er den miderste flaten G/2, og den øverste lik 0. Her blir altså volumet: $$V=\frac{(G+4 \cdot G/2+0)h}{6} = \frac{G \cdot h}{2}$$ Utledning parabol midtsnitt ▼
Den enkleste parabelen har ligningen $y=x^2$. For en parabol blir dette $h = r^2$. Da kan vi skrive arealtet av et snitt $F = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot h$. For midtsnittet er høyden er lik $\frac{h}{2}$ arealet av midtsnittet blir derfor $\frac{\pi \cdot h}{2}$. Det vil si at midtsnittet er halvparten av grunnflaten.

Elliptiske kurver

Tønneformelen gjelder også for tredjegradskurver, og enkelte vaser har slik form.

Tønneformelen lar seg også utvide til å gjelde tredjegrads elliptiske kurver gitt med formelen $$y^2=a x^3+ b x^2 +c x +d$$Denne kurven spiller en rolle innen funksjonsteorien fordi den er den enkleste kurve med genus 1 som det heter, d.v.s en form med et hull. Det finnes addisjonsforhold på kurven som kan anvendes i tallteori.

Kjeglesnittene er spesialvarianter av dissse kurvene. Andre utrykk kan være vaseform. En spesiell form finner vi i luftballonger. Det gjør at vi enkelt kan finne volumet av slike ballonger også.

Naturvitenskap og matematikk

Vi er ved disse betraktningene ved grensen mellom matemmatikk og naturvitenskap. Den alminnelige vitenskaplige holdning har vi idag fra Carl Popper og Thomas Kuhn. Vi kan ikke vite sikkert. Det er på et vis riktig, men er også feilkatig med hensyn på egentlig vitenskap. Det som i denne sammenheng kan falsifiseres er hvorvidt en tønne har en ellipseform. Men det kan ikke falsifiseres en gang for alle, det må bekreftes eller avkreftes i hvert tilfelle. Eventuelt at man sier at tønnen har nesten ellipseform. Når man så har avgjort i hvilken grad tønnen eller en annen form har den riktige form, så kan fromelen anvendes.

Også egget har en elliptisk tredjegradsform.

Her