AbeLie matematikk


Vekstfølger


Konstruksjon av følger

En vekstfølge er en generalisering av en geometrisk følge, og også den enkleste artimetiske. Alle disse kan konstrueres ved linjekonstruksjoner.

Vis kostruksjon →


Geometrisk følge
En geometrisk følge kan konstrueres på følgende vis: Man tegner inn to linjer a og b. Så settes av et punkt $A_1$ på linje $a$. Gjennom $A_1$ trekkes en ny linje $p_1$, og der denne treffer linjen $b$ finner vi punktet $B_1$. Så trekker vi en linje $q_1$ gjennom $B_1$, og der denne treffer $a$ finner vi punktet $A_2$. Så trekker vi en linje $p_2$ som er parallell til $p_1$ og der denne treffer $b$ finner vi $B_2$. Videre trekker vi linjen $q_2$ gjennom $B_2$ parallell til $q_1$ og finner $A_3$. Når vi fortsetter slik danner avstandene mellom $A$ punktene en geometrisk følge.

Vekstfølge
Vekstfølger fremkommer nesten på samme vis, men i stedet for at linjene $p_1 , p_ 2 , \ldots$ og linjene $q_1 , q_ 2 , \ldots$ er parallelle lar vi dem gå gjennom to faste punkter $P$ og $Q$

Man tegner inn to linjer a og b. Så settes av et punkt $A_1$ på linje $a$. Gjennom $A_1$ trekkes en ny linje $p_1$ gjennom et punkt $P$, og der denne treffer linjen $b$ finner vi punktet $B_1$. Så trekker vi en linje $q_1$ gjennom $B_1$ og et fast punkt $Q$, og der denne treffer $a$ finner vi punktet $A_2$. Så trekker vi en linje $p_2$ gjennom $P$ der denne treffer $b$ finner vi $B_2$. Videre trekker vi linjen $q_2$ gjennom $B_2$ og $Q$ og finner $A_3$. Når vi fortsetter slik danner avstandene mellom $A$ punktene en vekstfølge.


Tallforhold i følgene

Mens den geometriske følgen oppstår ved at forholdet mellom to etterfølgende ledd er konstant, så oppstår vekstfølgen ved at dobbeltforholdet mellom tre etterfølgende ledd er konstant.

Vis →

Representasjon av følger ved sirkler.

Vi kan legge inn sirkler mellom punktene i vekstfølgen. Da vil diametrene til disse representere tallfølgen det er tale om. Det viser seg at det er organisk riktig fordi alle sirklene i en slik tallfølge vil berøre de to samme sirklene. Vi får da et mye mer tydelig bilde av karakteren til de ulike følgene.

Vis →



Den inverse representasjon av vekstfølgen

Vi kan forlenge den geometriske følgen i den andre retningen, og da oppstår de inverse leddene. Vi kan også gjøre det for vekstrekken.

Endelige følger

For bestemte verdier av følgen kunne være slik at leddene i følgen gjentar seg, - at vi får en sluttet krets. De mest oversiktlige sluttede kretsene er krester med tre, fire og seks ledd.

Vis →