Einstein og projektiv geometri.

Relativitetsteorinene - både den spesielle og den generelle - er oppstått ut fra forståelsen av en utvidet geometri. Den utvidete geoemtrien ble hadde sine første spirer allerede på 1600 tallet ved arbeidene til Desargues og Pascal. Men det var særlig utover på 1800 tallet at utviklingen av disse geoemtriene virkelig foregikk. Grunnlaget for relativitets-teorien lå allerede i det som ble utivklet, og det var grunnen til at Einstein ikke fikk Nobeslprisen for relativitets-teorien, men for den fotoelektriske effekt.

Relativitetsteorien er altså en utvidelse av den Newtonske fysikk. Men de Newtonske fenomener fremkommer som grensetilfeller av det som beskrives av relativitetsteorien. Det kan godt tenkes at Einstein hadde noe av inspirasjonen til sitt arbeid fra projektiv geometri. Denne er jo en utvidelse av den Euklidske geometrien, men den Euklidske geometrien oppstår som grensentilfelle fra den projektive geometrien.

Allerede hos Desargues var vesentlige momenter til stede. Han er den som taler om harmonisk deling, og om involusjon. Dette er begreper som kan kyttes til det i projektiv geoemtri som svarer til å halvere et linjestykke, - og på den andre siden, å halvere en vinkel. Det viser seg at de to halveringer egentlig ikke er helt av samme art, og vi skal se på dette med henblikk på Eisnteins skisser.

Halvering av linjestykke
For å halvere et linjestykke trenger man bare en parallell linje i tillegg til punkter o glinjer. Vi ser hvordan det skjer ved konstruksjonen under:

En konstruksjon hos Einstein som er i slekt med dette finner vi på side 536 i artikkeen.
Einsteins konstruksjon →

I projektiv geoemtri gjøres den samme kosntruksjonen, men nå er parallelle linjer definert som linjer som møtes på linjen i uendelig. Midtpuntet mellom to punkter blir derfor konstruert på samme måte som over, men der parallelle linjer nå altså møtes i et punkt.

Denne konsfigurasjonen finner vi i notatene til Einstien på side 533.
Einsteins konstruksjon →

Halvering av vinkel
Å halvere en vinkel er en noe annen prosess enn det å halvere et linjestykke. Her må man bruke sirkelen ved konstruksjon. Og det andre er at vi ikke bare har en linje som halverer vinkelen, men to linjer som står vinkelrett på hverandre.

Den projektive grunnen til at vi får to løsninger for vinkelhalvering er at denne prosess ikke bare er knyttet til linjen i uendelig, men til de såkalte sirkelpunktene. Når vi nå skal dele en vinkel i to må derfor linjen være harmonisk i forhold til to punkter.

Det er flere måter å kosntruere involusjonspunkter på. Her har vi gitt den som fremkommer som skisse i Einsteins notater.

Denne konsfigurasjonen finner vi i notatene til Einstien på side 546.
Einsteins konstruksjon →

Når vet hvordan vi finner involusjonspunkter kan vi halvere vinkler når sirkelpunktene I og J er gitt. Vi trekker da en linje gjennom I og J, og denne vil møte vinkelbeina i to punkter. Vi finner så involusjonspunktene til de to par punkter, og linjer gjennom disse vil være de projektive "halveringsvinklene."