Fra det enkle til det sammensatte

Torger Holtsmark
Den Høgre skolen nr. 13 - 1963

Som kjent skapte grekerne uttrykket apodiktisk, eller bevisende, vitenskap, og spørsmålet om vitenskapelig metode stod i sentrum av deres tenkning. Det er interessant at da moderne matematikk i løpet av forrige århundre ble tvunget til å utforske sitt eget grunnlag, førte dette til et fornyet og fruktbart møte med den greske matematikk. Har et liknende møte funnet sted for fysikkens vedkommende? Svaret blir et betinget ja.

Det synes som fysikkens utvikling bærer sterke spor etter "den kopernikanske revolusjon", og det dermed følgende radikale brudd med antikkens verdensbilde. Utvilsomt gjør det seg også gjeldende en overlegenhetsfølelse som er betinget av den moderne fysikks enorme suksess.

Fysikk som apodiktisk vitenskap ble første gang sammenfattet av Aristoteles i hans "Fysikalske forelesninger", ofte kalt "Physica". - Allerede i innledningen til denne erklæres det at målet er å lære å kjenne prinsippene for denne vitenskap, og jo mer man studerer Physica, jo mer forstår man at dette verk er et sammenhengende grunnlagsstudium som har krav på større interesse enn det vanligvis blir til del.

Imidlertid finnes det andre eksempler som viser oss den greske fysikalske tenkning i aksjon, og som er enklere å overskue fordi de ikke har den samme intensjonsdybde som "Physica".

Særlig vil jeg henvise til et par kjente formuleringer fra grenseområdet mot matematikken. Det gjelder Archimedes' utledning av vektstangloven (momentloven), og likeledes hans utledning av den hydrostatiske grunnlov. Disse utledninger har vært drøftet meget i tidens løp, men av moderne vitenskapshistorikere vil jeg særlig henvise til E. J. Dijksterhuis, Holland, som har kastet avgjørende lys over problemområdet.

Archimedes' utledning av momentloven finnes i et verk som har dobbelttittelen: "Om likevekt av plan eller Om tyngde- punktet av plan." Uttrykket "plan" betyr planimetriske figurer, dvs. trekanter, firkanter etc.

Bevisutviklingen hviler på et sett av postulater som dels angår fenomenene likevekt og ulikevekt, dels tyngdepunktets beliggenhet i en figur. Begrepene likevekt og tyngdepunkt blir imidlertid ikke definert eksplisitt.

Første postulat uttaler seg om betingelsen for likevekt av like store vekter:

1. Vi antar at like vekter i like avstander er i likevekt, og at like vekter i ulike avstander ikke er i likevekt, men synker mot den vekt som har størst avstand.

Vi merker oss her at uttrykket "like vekter" refererer til vektlikhet, men ikke formlikhet, av planimetriske figurer. Uttrykket "avstand" betyr tyngdepunktavstand.
De to neste postulater uttaler seg om overgangen fra likevekt til ulikevekt:

2. at hvis, når vekter i visse avstander er i likevekt, noe blir lagt til en av vektene, så er de ikke i likevekt, men synker mot den vekt til hvilken det blir lagt noe.
3. likeledes at, hvis noe blir trukket fra en av vektene, så er de ikke i likevekt, men synker mot den vekt fra hvilken det ikke blir trukket noe.

Deretter følger to postulater om tyngdepunktets beliggenhet i likedannede planimetriske figurer,

4. at når like (tunge) og likedannede figurer bringes til å falle sammen, så faller også deres tyngdepunkter sammen.
5. at i figurer som er ulike (tunge), men likedannet, har tyngdepunktene like- dannet beliggenhet.

Så følger det 6. postulat, som språklig er så knapt avfattet at dets logiske betydning lett kan overses:

6. at hvis størrelser i visse avstander er i likevekt, vil andre (størrelser), lik dem, også være i likevekt i de samme avstander.

Ved første øyekast synes postulatet trivielt: En vekt kan erstattes med en annen like stor vekt uten at likevektsforholdet blir forstyrret. Imidlertid fremgår det jo tydelig av postulatsammenhengen at uttrykk et "vekt" og "størrelse" refererer til planimetriske figurer, og at "avstand" betyr tyngdepunktavstand. Dette kaster lys over den logiske betydning av det ordknappe postulat. Med dette for øye tillater vi oss å reformere postulatet slik:

6. at hvis størrelser i visse tyngdepunktsavstander er i likevekt, vil andre størrelser, lik dem av vekt, men ikke av form, også vare i likevekt i de samme tyngdepunktsavstander.

Hvis man gir seg tid til å overveie dette postulat nærmere, vil man etter hvert oppdage hvilken fundamental iakttakelse som her er uttalt, og man vil snart spørre seg selv om ikke utledningen av momentloven nettopp må ta sats i det 6. postulat.

Det syvende postulat byr ikke på noen problemer i vår sammenheng:

7. i enhver figur hvis omkrets overalt er konkav mot samme siden, må tyngepunktet ligge innenfor figuren.

På dette fundament av postulater reises så bevisenes byggverk: Første bevis utgjør omvendingen av første del av første postulat:

• Vekter som er i likevekt i like avstand er, er like.

Beviset er enkelt, for dersom vektene var ulike, kunne de f. eks. gjøres like ved å trekke noe fra den største, men da skulle likevekten forstyrres ifølge 3. postulat, hvilket på den annen side strider mot i. postulat. Det er altså nå påvist at ved like vekter er det tilstrekkelig og nødvendig at vektarmene er like.

Annet bevis klargjør betingelsene for ulikevekt:

• Ulike vekter i like avstander er ikke i likevekt, men synker mot den større vekt.

Denne sats synes ved første øyekast å bringe noe vesentlig nytt, men nærmere ettertanke viser at den utledes av de to første postulater alene. For hvis vi fra den større vekt trekker den overskytende del, så har vi likevekt ifølge første postulat, og satsen bevises deretter lett ved hjelp av annet postulat.

Så følger tredje bevis, som kan betraktes som en foreløpig formulering av moment- loven:

• Ulike vekter kan bare være i likhet i ulike avstander, den større (vekt) i minst (avstand).

For hvis den overskytende del trekkes fra den større vekt, må vekten synke mot den opprinnelig lettere, men ifølge i. postulat må denne siste vekt da ha større avstand. Så langt kan altså momentloven formuleres alene ved hjelp av de første postulater. Den endelige formulering krever imidlertid at vi tar ny sats, og dette skjer i 4. og 5. bevis, samt to korolarier: \begin{arkb} Hvis to like størrelser ikke har samme tyngdepunkt, så vil tyngde punktet for summen av størrelsene være midt- punktet av den rette linje som forbinder de to størrelsers tyngdepunkter. \end{arkb} Satsen bevises enkelt ved hjelp av i. postulat. For anta at tyngdepunktet ikke falt sammen med midtpunktet osv. osv. Deretter utvikles en tilsvarende sats for et system av 3 like vekter, nemlig at når disse er jevnt fordelt på en rett linje, så er tyngdepunktet for den midtre størrelse samtidig tyngdepunktet for hele systemet. Denne sats følger av det foregående bevis, og utvides så til å omfatte et vilkårlig antall like vekter, som er jevnt fordelt på en rett linje. Dersom vektenes fordelt på en rett linje. Dersom vektenes antall er ulike, vil tyngdepunktet av den midtre størrelse være hele systemets tyngdepunkt. På den annen side, dersom den midtre størrelse blir fjernet, vil dette ikke forstyrre likevekten av hele systemet. \emph{Nå er grunnen endelig ryddet for oppstilling av momentloven i sin definitive skikkelse.} Men også denne oppstilling skjer i to skritt, en gang for kommensurable vekter, en gang for inkommensurable. Det er tilstrekkelig for oss her å følge første del av beviset. \begin{arkb}Kommensurable vekter er i likevekt i avstander som er omvendt proporsjonale med vektene. \end{arkb} $$\scalebox{0.8}{\includegraphics{Bilder/LikeVekt.png}}$$ Vi kaller vektene A og B. 0 er likevektspunktet, dvs. systemets tyngdepunkt. Satsen som skal bevises er altså: $$AO:0B=B:A$$ Siden vektene er kommensurable, har de et felles mål. Vi kaller det M. Vi antar at M går NA ganger opp i A og NB ganger opp i B. Vi antar videre at A erstattes med et system av NA størrelser M, som er jevnt fordelt omkring posisjonen A på den rette linje gjennom A og B. Tilsvarende erstattes B med et system NB størrelser M, som er jevnt fordelt omkring posisjonen B, og likeledes langs linjen AB. Ifølge 5. bevis er da tyngdepunktet for de to systemer stadig i henholdsvis A og B og ifølge 6. postulat er likevekten av det totale system n uforstyrret. Dette er bevisets vendepunkt. Idet vi nå videre krever at ikke bare er mengden NÅ jevnt fordelt omkring A og mengden NB jevnt fordelt omkring B, men ytterligere at den totale mengde NA + NB skal være jevnt fordelt langs linjen gjennom A og B, så er det uten videre klart at 0 er midtp unktet for denne totale mengde. Altså er 0 tyngdepunktet for hele systemet, hvilket skulle bevises. Idag blir vanligvis momentloven utledet i elevforsøk ved hjelp av vektstenger og hengende lodder. Ved å manipulere en tid med forskjellige kombinasjoner av lodd- og vektarm, springer loven i øynene. Til forskjell fra Archimedes har vi da sett bort fra tyngdepunktsproblemet. Hele vårt vektstangapparat er egnet til å lede oppmerksomheten bort fra tyngdepunktfenomenet og direkte til en tallmessig formulering av momentsatsen. Vi anvender konsentrerte loddmasser som henger fritt, slik at tyngdepunktet stiller seg vertikalt under opphengningspunktet. Vi oppnår en raskere formulering av momentloven, men denne formulering er abstrakt. Den er ikke erfaringsmettet, hvilket utvilsomt mange elever føler mer eller mindre bevisst. I pedagogisk henseende er den Archimedeske måte langt bedre. Den grunner nemlig satsen på ett eller flere grunnlegg endelikevektsfenomener, på visse element ære erfaringer med likevekt. Med et uttrykk av Goethe kan man si at den utleder momentloven av likevektslærens urfenomener, som er formulert i postulatene. Karakteristisk nok forekommer det tilsynelatende ingen eksperimenter i Archimedes' utvikling, og det er jo i det hele tatt typisk for grekerne at de bevisst unngikk å orientere den vitenskapelige tenkning i praktisk retning. - Archimedes taler således i et rent begrepsspråk om: "tyngdepunktsavstand", "likevekt" osv., men aldri om konkrete vektstenger og lodder. Dette betyr ikke at Archimedes og overhodet grekerne, ikke var praktikere. Det betyr ikke at Archimedes ikke har drevet praktiske eksperiment er med vektstang, men de to virksomheter tenkning og eksperiment (teori og praksis) ble bevisst holdt adskilt. Og om vi ser nærmere på postulatene, legger vi merke til at de er formulert på en slik måte at de stort sett utgjør element ære erfaringer som kan gjøres uten ytre instrumenter. Det at momentloven utledes av en erfaring som er noe så nær utvilsom, gir den en mer virkelighetsmettet karakter enn når vi i dag på en abstrakt måte manipulerer våre lodder. Det er ellers interessant og karakteristisk at den store logiker Ernst Mach overså dette. Hans skarpe kritikk av Archimedes går bi. a. ut på at beviset er verdiløst, for det uttaler ikke noe annet enn det som er inneholdt i forutsetningen. Allerede når vi fordeler mengden NA symmetrisk om posisjonen A, forutsetter vi momentloven, hevd er Mach. Han overser da at Archimedes' bevis ikke er noe annet enn en vei fra en enkel sammenheng til en sammensatt. Og slik arbeider alltid tenkningen. Til slutt viser vi i en figur to karakteristiske forskjellige vektstangoppstillinger, den ene er den kjente skoleoppstillingen, den andre er en hengende vektstang, som skulle egne seg til eksperimenter med planimetriske figurer slik som de ligger til grunn for Archimedes' bevis. \end{multicols}

Avsnitt 1

Tekst i avsnitt 1

Avsnitt 2

Tekst i avsnitt 2

Avsnitt 3

Tekst i avsnitt 3