Rommet, - dets struktur og grenser


Oppfatteslen av kosmos har endret seg gjennom tidene. Hvorvidt rommet er endelig eller begrenset ble en gåte i den nyere tid. Relativitetsteorien åpnet opp for forestillinger om krumme rom, et rom som går tilbake i seg selv. Dette blir som ofte oppfattet i fantastisk retning som ikke åpner for en alminnelig folkelig betraktning. Forestilligner om motrommet har brakt inn nye momenter, og Cayley-Klein rommet åpner opp for en anskuelse av rommet som uendelig men begrenset. Videre betrakninger fører over til et generelt levende rom med to grenser, - en ytre og en indre.

Innledning

Den naive oppfatning av rommet er den at det strekker seg ut i det uendelig i alle retninger og er ganske likt i alle retninger. Et slikt syn støter på problemer ved nærmere ettertanke, for følelsen er det vanskelig å gå med på at kosmos aldri har en ende. Den moderne geoemtri kan gi anskuelser som er fruktbare til å gå inn på disse spørsmålene. Her kommer det uendelige inn i betrakningene på en naturlig måte.

Girard Desargues arbeidet med perspektivet, og her spiller horisontlinjen en vesentlig rolle. Girard Desarg innførte horisontlinjen som en reell entitet i geometrien, i det som var kimene til den projektive geometri. Mens to parallelle linjer blir definert som sådan i den euklidske geometri, blir de nå definert som to linjer som møter hverandre på horisontlinjen. Når horisontlinjen går til uendelig oppstår den parallellitet som vi kjenner. Denne parallellitet er et spesialtilfelle, - vi kan si at vi har en slags krystallisasjonsprosess, en slags siste dødsprosess.


Geometriske nett med synlig og usynlig horisontlinje.

Den anskuelsesmåte vi her finner i geoemtrien kan så anvendes på naturen i åndsvitenskapelig perspektiv, - når krystaller eller andre regulære former dannes, slik som de regulære sekskantene i en bikube, da kan ma tenke seg at det er en kosmisk virkning inn fra uendelig.

Motrommet

Et helt sentralt moment i den projektive geoemtri er polaritetsprinsippet. Det går ut på at man kan bytte om på linjer og punkter i en struktur, og stukturen vil fortsatt gjelde. Her er noen eksempler:

  • To linjer har et felles punkt
  • En linje skjærer et kjeglesnitt i to punkter når den går over.
  • To parallelle linjer møtes i et punkt på linjen i uendelig.
  • To punkter har en felles linje
  • Et punkt har to tangenter til et kjeglesnitt når det ligger utenfor.
  • To parallelle punkter har en felles linje som går gjennom uendelig.

Linjen i uedelig danner en av rammene for det euklidske rommet. I analogi med dette tenker man seg et rom som har et punkt som ramme. I stedet for at rommet blir dannet ut fra det uedelig, tenker man seg her et rom som blir dannet ut fra et punkt, ut fra et frø så og si. Som polart til det vanlige rom har man kalt dette "motrommet", - på engelsk "counter-space".

     
Motromsperspektiv fra "The plant between sun and earth"

Cayley - Klein rommet

Cayley-Klein geoemtrien i planet og rommet er en syntese av den euklidiske og motromsgeometrien. Arthur Cayley så for seg dette ut fra beregninger i de to ulike rommene. Rammen for dette rommet er ikke en linje, og heller ikke et punkkt, men en sirkel som vi kan si befinner seg mellom linjen i uendelig og et punkt. Beregningene i Cayley-Klein-rommet kan bli til euklidiske beregninger når sirkelen vokser mot uendelig, og de kan bli til motromsberegninger når sirkelen går sammen til et punkt.

Så vidt det er å se, har det ikke utviklet seg en ren geometri i dette rommet, slik vi har for det euklidiske rommet og motrommet. Det kan vi nærme oss når vi ser på hva som er en sirkel i motrommet. Vi kan da gå videre til å bestemme en sirkel i CK-rommet.

For å komme til rene geoemtriske anskueler er det en vei å gå å se på hvordan sirkler arter seg i CK-planet.


Sirkler i CK-planet.