De klassiske problemene
Begreper
- Klassiske problemer
- Kubens fordobling
- Vinekelens tredeling
- Sirkelens kvadratur
- Løsbarhet
Tre geometriske problemer fra oldtiden har bidratt til utviklingen av matematikken, fordi de ikke kunne løses ved de midlene man var vant til. Eudklids geometri begrenser seg til konstruksjoner der man bruker linjal og passer, men det viser seg at det fort kan oppstå problemer som ikke lar seg løse ved hjelp av disse.
Problemene det dreier seg om er kubens fordobling, vinkelens tredeling og sirkelens kvadratur.
Kubens fordobling
Legenden forteller at en pest herjet i det gamle Hellas, og man oppsøkte orakelet i Delhi for å sprørre hva man kunne gjøre. "Doble størrelsen på alteret i Apollontempelet" var svaret. Man lagde da et alter der sidene var dobbel så store som det som hadde vært. Pesten fortsatte likevel så man gikk igjen for å høre og man fikk beksjed om at det var volumet som skulle dobles.Dette innebærer å konstruere tredjeroten av 2, noe som voldte problemer med vanlige midler. Ut fra dette utviklet man andre typer kurver som kunne løse problemet.
En måte å konstruere det på er å tegne en hyperbel og en parabel. Der disse skjærer hverandre finner vi kvadratroten av to.
$$y=x^2$$$$y=2/x$$
$$x^2=2/x$$$$x^3=2$$$$x=\sqrt[3]{2}$$
Se konstruksjon →
En måte å konstruere det på er å tegne en hyperbel og en parabel. Der disse skjærer hverandre finner vi kvadratroten av to.
$$y=x^2$$$$y=2/x$$
$$x^2=2/x$$$$x^3=2$$$$x=\sqrt[3]{2}$$
Se konstruksjon →
Vinkelens tredeling
Det andre problemet er sirkelens tredeling. Å dele en vinkel i to er ganske rett frem, men å dele en vinkel i tre bød på adskillig større problemer. Det viser seg at konstruksjonen er umulig med de midlene Euklid godtok, passer og linjal.Det er imidlertid mulig å konstruere vinkelen hvis man godtar andre hjelpemidler. En av disse er å bruke en linjal med et fast linjestykke påtegnet lik en radius man bruker. Se konstruksjon →
Det finnes også flere andre metoder. Kurver av forskjellige slag brukes. Man kan anvende en parabel, og da kan man tredele i geogebra fordi her kan man få frem parabelen. Se tredeling med parabel →
Den såkalte Mclaurins trisectric fremkommer som et geometrisk sted.
Vis konstruksjon →Sirkelens kvadratur
Sirkelens kvadratur er en problemstilling som oppstår når man vil finne rette lengder som er like lange som sirkelbuen. Dette kan heller ikke gjøres med passer og linjal. Men bruker man Arkimedes spiral går det. Konstruer →
Appollontempelet i Delphi